Valoarea stiintifica a masuratorilor experimentale poate fi evaluata în functie de [9]:

Fig. 3.1. Clasificarea erorilor experimentale

 Deoarece masuratorile experimentale sunt inerent afectate de anumite erori, o prelucrare corecta a rezultatelor presupune luarea în considerare si caracterizarea erorilor respective.

Erorile care pot afecta rezultatele experimentale sunt de mai multe feluri (Fig.3.1.): grosolane, sistematice si întâmplatoare. Pentru caracterizarea erorilor experimentale pot fi luate în considerare doar erorile întâmplatoare (aleatoare).

Erorile sistematice distorsioneaza rezultatul determinarilor într-un singur sens cu o dependenta constanta fata de valoarea adevarata. Daca aceste erori sunt constante în timp, exista speranta corectarii lor prin curbe de calibrare sau alte procedee stiintifice.

Erorile grosolane (inacceptabile), constituie, de fapt, greseli în experiment si se pot datora: erorilor personale, deficientelor metodice, erorilor instrumentale sau altor factori exteriori.

Revenind la erorile întâmplatoare care afecteaza o masuratoare repetata, sa consideram exemplul tipic al valorii fondului cosmic în cazul unor masuratori de radioactivitate si exemplul urmator.

Exemplu:

Alternativ, masuratoarea poate fi efectuata simplu cu un numarator de radiatii gama de tip "NUMECINT" care afiseaza numarul de cuante gama (impulsuri) numarate într-un interval de timp prestabilit. Sa presupunem ca afisajul este urmarit si înregistrat timp îndelungat, de exemplu 3 ore (Fig. 3.2.). Se observa ca numarul de impulsuri înregistrate variaza între 1 si 21 si se poate întocmi un tabel de forma celui din Fig.3.2.

Marimea se numeste frecventa de aparitie a valorii x .

 Din acest experiment se observa cu usurinta ca marimea fizica de interes, "fondul cosmic al radiatiilor gama", variaza aleator între 1 si 21, astfel încât aceasta marime poate fi tratata în termenii teoriei probabilitatilor. Din tabelul datelor experimentale identificam "marimile care au sens matematic", de variabila aleatoare, si densitate de probabilitate (densitate de repartitie sau distributia variabilei aleatoare).

 Este evident ca în cazul de fata, fondul cosmic este o variabila aleatoare discreta, deoarece sunt lipsite de sens fractiunile de cuante gama. Teoretic însa pot fi definite si variabile aleatoare continue, al caror domeniu de variatie este prin definitie (-„ ,+„ ).

Numim distributie uniforma, distributia de probabilitate cu densitate de repartitie constanta.

Pentru o variabila aleatoare continua numim mod orice maxim al densitatii de repartitie. Astfel, densitatile de repartitie pot fi unimodale sau multimodale. Un minim al densitatii de repartitie se numeste antimod.

Probabilitatea ca variabila aleatoare x sa ia valori mai mici decât o valoare de referinta se numeste functie de repartitie (lege de repartitie) si se obtine ca o suma în cazul variabilelor aleatoare discrete sau ca o integrala pentru variabilele aleatoare continue, de la limita inferioara la a densitatilor de probabilitate. Este deci evident ca aceasta functie este nedescrescatoare. Pe de alta parte, ea este normata la unitate, acest lucru rezultând din modul de definire al frecventei de aparitie.

MEDIA, sau centrul de grupare al evenimentelor, care în cazul nostru este data de:

 si care ne da valoarea cea mai probabila pentru fondul cosmic.

Media este deci centrul de greutate al densitatii de repartitie si nu media aritmetica a aparitiilor pe afisaj [10,5]. Pentru variabile aleatoare continue, cu densitatea de probabilitate P(x), media se defineste ca:

 unde neste numarul gradelor de libertate ale variabilei x,=n-k , k reprezentând legaturile variabilei aleatoare, în cazul cel mai simplu având valoarea k=1, adica legatura între variabile este data de media deja calculata, . In cazul acesta, dispersia este:

 Eroarea patratica medie va fi notata cu s pentru variabilele aleatoare discrete si cu s spentru variabilele aleatoare continue, respectiv .

Daca rezultatele experimentale sunt caracterizate de doua variabile aleatoare, atunci între acestea se poate defini coeficientul de corelatie:

 care are valoarea 1 pentru doua variabile dependente si 0 pentru doua variabile aleatoare independente.

Trebuie remarcat aici ca independenta a doua variabile aleatoare înseamna ortogonalitate în sensul vectorial si nu "liniar independenta".

Coeficientul de corelatie nu are sens pentru variabile care nu sunt aleatoare.

Observam ca sumele din definitia coeficientului de corelatie pot fi aduse si la forme mai accesibile:

 respectiv:

 unde n este numarul de esantionari.

Evident, coeficientul de corelatie poate fi definit si pentru variabile aleatoare continue.

Pentru cazul în care dispunem de n variabile aleatoare, reprezentate prin vectorul si un alt vector de variabile aleatoare de dimensiune r<n care îl conditioneaza pe spunem ca avem o regresie a variabilelor aleatoare asupra variabilelor aleatoare de tip . Prin aceasta definitie se admite implicit ca dimensiunea vectorului constituie legaturi asupra vectorului deci numarul gradelor de libertate va fi n-r.

Sa consideram acum o functie de repartitie continua multidimensionala a variabilelor aleatoare cu mediile , , pe care o dezvoltam în serie în jurul valorilor medii:

 unde n reprezinta numarul variabilelor aleatoare.

Neglijând termenii de ordin superior valoarea medie a functiei poate fi scrisa ca:

 deoarece .

Dispersia pentru functia va fi data de:

Deoarece al doilea termen se anuleaza pe domeniul obtinem :

 adica legea de propagare a erorilor .

Sa luam exemplul f(x₁,x₂)=x₁x₂ cu m₁=2; s ₁=0,2 (10%) si m₂=3; s ₂=0,1 (3.3%). Obtinem:

 adica o eroare medie patratica de 10.3% .

Variabilele aleatoare x_i pot fi neomogene, adica caracterizeza marimi fizice diferite. In acest caz notam:

 respectiv:

 Notând cu:

 coeficientul de influenta al argumentului x_i se obtine pentru dispersia functiei expresia:

Un interes special în caracterizarea erorilor experimentale îl prezinta distributia normala (Gaussiana) (Fig.3.3.) a carei expresie este data de:

 în care este valoarea medie, iar se numeste abatere standard. Se poate observa ca din definitia distributiei Gaussiene are aceeasi semnificatie cu abaterea patratica medie. Aceasta functie a aparut în teoria molecular-cinetica a gazelor pentru descrierea distributiei vitezelor moleculelor din gazele ideale.

 In cadrul teoriei probabilitatilor densitatea de probabilitate de aceasta forma se poate obtine pornind de la urmatoarele postulate [9]:

Prin urmare, repartitia normala a rezultatelor unei masuratori garanteaza absenta erorilor sistematice.

Functia de repartitie a distributiei normale este notata cu erf(t) (engl. error function=functie de eroare):

 cu substitutia evidenta, .

Prin dezvoltare în serie se obtine:

 Aceasta functie de repartitie intervine foarte frecvent în problemele de difuzie, de aceea este foarte eficace calcularea ei cu cinci cifre semnificative folosind formula lui Hastings [22]:

 unde:C₁=0,31938153; C₂=-0,356563782;C₃=1,78147937; C₄=-1,821255978;C₅=1,330274429.

Propunem urmatoarele cazuri test: erf(0)=0.5, erf(1)=0.84134, erf(2)=0.97725 si erf(5)=1.

Daca rezultatele masuratorilor sunt distribuite normal, atunci probabilitatea ca x sa fie cuprins în intervalul (x₁,x₂) este data de erf(x₂)-erf(x₁) ( Fig. 3.3).

Pentru a estima corect o marime fizica masurata, în mod obligatoriu trebuie ca acestei marimi sa-i fie atasta o masura a încrederii în rezultatul obtinut. Pentru o densitate de probabilitate oarecare f(x), probabilitatea caq ₁<x<q ₂ este data evident de:

 Marimea P se numeste coeficient de încredere si exprima probabilitatea ca intervalul (q ₁, q ₂) sa acopere valoarea adevarata a parametrului q .

Luând ca referinta distributia normala, intervalul de încredere este simetric în raport cu media si se scrie sub forma

 Daca repartitia normala este evaluata în n masuratori, , deci chiar media aritmetica, abaterea standard de estimatie este data de:

 Daca dispunem acum de o valoare adevarata m pe care o comparam cu , se poate arata ca variabila z=x este de asemenea distribuita normal. În acest caz putem efectua substitutia (întâlnita si anterior):

 Indicele aare semnificatia a =1-P unde P este probabilitatea ca sa acopere valoarea adevarata m, iar n este numarul gradelor de libertate ale variabilei aleatoare. Se poate scrie asadar:

 Evident, pentru o distributie normala a rezultatelor masuratorilor, acestea ar trebui repetate de o infinitate de ori. In practica vom folosi distributii care la limita tind catre distributia normala si care ne pot garanta absenta erorilor sistematice.

Legea normala multidimensionala se defineste ca [5]:

 unde D este determinantul:

 cu r_ik=r_ki, acesti coeficienti fiind coeficientii de corelatie ai variabilelor aleatoare.

Legea de repartitie depinde de : n parametri s _i, n parametri , parametri r_ik, în total parametri.

Legea de distributie mai poate fi scrisa sub forma:

 unde elementele matricii M sunt de forma:

 unde M_ik=s _ikr_ik, iar det(M)=s ₁^{2 s} ₂²...s _n²D.

 În cazul bidimensional legea normala multidimensionala se scrie:

 Sa fixam si sa reprezentam graficele lui pentru diferiti coeficienti de corelatie (Fig.3.4).

Aceasta reprezentare ne arata ca la studiul unui fenomen, spre exemplu în functie de timp, este obligatoriu ca masuratorile sa fie independente între ele, altfel se produc erori sistematice.

De asemenea, "îndesirea" arbitrara a punctelor experimentale conduce la corelatii nenule cu un efect nefast asupra interpretarii. Singura interpolare permisa este cea liniara, pentru x si y omogene, deoarece astfel nu se modifica r². Alte interpolari sunt potrivite doar în absenta erorilor experimentale sau pentru integrari numerice.

De aceea pentru masuratori independente, folosim formula:

 care înseamna ca probabilitatea a n evenimente independente este produsul probabilitatilor evenimentelor individuale.

Distributia Poisson are forma:

 si este normata la unitate. Pentru aceasta distributie este evidenta formula de recurenta:

 Distributia Poisson este folosita pentru descrierea experimentelor cu un numar mare de esantionari, de ordinul 10³. Ea este foarte potrivita pentru descrierea fluctuatiilor statistice ale masuratorilor cu contori de radiatii, cum ar fi fondul cosmic al radiatiei gama.

In cadrul teoriei molecular-cinetice a gazelor, sa aratat ca media patratului fluctuatiilor numarului de particule dintrun volum mic de gaz, N (fluctuatii mari, în care este comparabil cu N) este data de:

 iar dispersia este atunci:

 Acest rezultat este deosebit de important deoarece permite o evaluare a dispersiei în ipoteza unei distributii Poisson a erorilor întâmplatoare pentru masuratorile cu contori de radiatii. Astfel, daca luam s= pentru distributia normala asociata masuratorilor fondului cosmic descris anterior, vom descrie bine rezultatele experimentale (Fig.3.5.).

Pentru a dovedi ca întrun experiment nu s-au facut erori sistematice, este necesara compararea rezultatelor unei masuratori repetate, si s, cu un etalon, m,s .

 Pe baza proprietatilor distributiei normale ale variabilelor aleatoare, ale mediei si dispersiei vom testa absenta erorilor sistematice pentru un anumit nivel de încredere fixat, tipic =0.05, corespunzator unei probabilitati P=90%.

Aceasta distributie a fost studiata de fizicianul englez Croset (1876-1937) care folosea pseudonimul Student. Aceasta distributie este unimodala, simetrica si depinde de doua variabile, t si , unde este numarul gradelor de libertate, deci un numar întreg:

 unde G reprezinta functiile hipergeometrice ale lui Euler iar functia de repartitie este data de:

 Pentru calculul efectiv al acestei functii [22] facem substitutia , si presupunem ca x > 0.

Distingem doua cazuri:

n este par si atunci:

 respectiv n impar pentru care:

pentru n =1,

iar pentru n > 1

 Cazul test propus este: n =10; x=2,13 pentru care trebuie sa se obtina P=0,9409787 si respectiv n =7; x=3,256 pentru care P=0,98606.

Se poate arata cu usurinta ca pentru distributia Student tinde catre o distributie normala [9]:

 respectiv:

 Limita inferioara a distributiei Student se obtine pentru n =1, caz în care obtinem:

 Aceasta este forma analitica a repartitiei Cauchy (forma liniei este o "Lorentziana", Fig.3.6).

Functia de repartitie a distributiei Cauchy este evident:

 Utilitatea distributiei Student este evidenta prin tipul de înrudire cu distributia normala. Astfel, dupa repetarea unei masuratori de n ori calculam media aritmetica , numarul gradelor de libertate fiind n=n -1. In ipoteza absentei erorilor sistematice este posibil ca pentru n masuratorile efectuate sa conduca la valoarea m a etalonului. Se propune un nivel de încredere si se calculeaza variabila:

 Daca t_exp < t_Student pentru P=1-a dat, se admite ca masuratorile efectuate nu au fost afectate de erori sistematice.

Procedeul de testare a absentei erorilor sistematice cu ajutorul functiei de repartitie Student se numeste "testul t" sau "testul Student".

Pentru folosirea distributiei Student este utila tabelarea functiei P(x,) pentru diferite probabilitati si grade de libertate.

Aceasta distributie a fost studiata de Helmert si Pearson. Variabila aleatoare luata în studiu are forma:

 unde x_i sunt la rândul lor variabile aleatoare. In acest caz, este eroarea elementara la o masuratoare, iar n reprezinta numarul gradelor de libertate [9].

Considerând doua sfere de raze si , cautam probabilitatea ca c _n² < c ² < c _n²+dc ² pentru un vector aleator (x₁,...,x_n). Se observa ca:

 Deoarece c ² > 0, densitatea de repartitie a variabilei este nula pentru x < 0. Dupa calculul coeficientilor de normare la unitate, densitatea de repartitie are forma:

 cu proprietatea ca:

pentru n par

pentru n impar

Functia de repartitie se poate calcula astfel [22]:

 Deoarece calculul sumelor se face cu o precizie finita, data de reprezentarea interna a numerelor reale în calculator, sumarea se poate încheia atunci când ultimul termen nu mai modifica valoarea sumei.

Programele exemplificative calculeaza P pentru c ² si n dat, cazul test propus fiind c ²=8,1; n =4 cu P=0,912017 respectiv c ²=3,2; n=7 cu P=0,13410.

Din expunerea facuta rezulta ca dispersia unei variabile aleatoare, c c², poate fi evaluata ca:

 Sa definim variabila:

 Pentru un interval de încredere , (P=1-a), evaluam corespunzator conditiei c ² <c ₁². Din tabelul P(c ²,n) gasim valorile c ₁² si c ₂² corespunzatoare celor doua limite ale dispersiei. Putem acum sa evaluam intervalul dispersiei rezultatelor experimentale în domeniul delimitat de c ₁² si c ₂². Daca aceste limite încadreaza dispersia etalonului, atunci putem admite absenta erorilor sistematice în dispersia masuratorilor repetate pentru variabila .

Acesta este "testul Pearson" sau "testul c ²", fiind util mai ales pentru un numar mic de esantionari, când asimetria distributiei rezultatelor experimentale este foarte accentuata. Daca n este mare, asupra variabilei aleatoare s se poate aplica si testul Student [11].

Sa presupunem ca este studiata variatia unei anumite marimi fizice y dupa o variabila x. Admitem ca marimile y si x sunt legate prin relatia functionala:

Sa presupunem ca s-au obtinut o serie de puncte experimentale si s-a trasat graficul lui y în functie de x (Fig.3.7.a).

In general punctele experimentale nu urmeaza o curba neteda ci prezinta o anumita dispersie, adica se îndeparteaza aleator de la tendinta generala perceptibila. Aceste erori experimentale sunt inevitabile, de aceea ne propunem sa gasim o relatie optima între x si y, care sa evite influenta erorilor experimentale asupra interpretarii fenomenului studiat. O posibilitate ar fi aceea de a exprima functia f(x) ca un polinom de grad n-1 (n fiind numarul datelor experimentale). Aceasta idee, perfect fundamentata matematic, conduce la o curba ondulata care trece exact prin punctele masurate (Fig.3.7.b), însa desigur nu contine informatii asupra tendintei generale cautate de comportare a marimii necunoscute. Iata de ce în analiza problemelor de aproximare prin metoda celor mai mici patrate este important sa propunem noi forma analitica a functiei f(x), stabilita pe baza unor considerente fizice (teoretice). Folosind metoda celor mai mici patrate vom cauta parametrii functiei f(x) care aproximeaza cel mai bine punctele experimentale determinate. De exemplu, pentru o functie de forma:

y=a(b-e^cx) (3.38)

vom avea variabila x cunoscuta experimental si trei parametri, a,b,c care trebuie determinati. O relatie de tipul (3.38), care descrie un experiment se numeste model.

In problemele de tip "cele mai mici patrate", este important ca numarul determinarilor experimentale (perechi (x,y)) sa fie mult mai mare decât numarul parametrilor modelului (de exemplu a,b si c din expresia (3.38)), pentru a evita comportarile aberante despre care am amintit (Fig.3.7.b). Pentru determinarea optima a parametrilor modelului, va trebui sa tinem cont de existenta inerentelor erori experimentale.

Atunci când apar erori experimentale, este util sa folosim rezultatele teoriei probabilitatilor. Astfel, daca erorile experimentale sunt întâmplatoare (aleatoare, în absenta erorilor sistematice sau grosolane) putem presupune ca repetarea unei masuratori pentru perechea (x,y), adica (x,y₁), (x,y₂), (x,y₃),... va conduce la o valoare medie (x,y_m), valorile y_m fiind distribuite normal în jurul mediei. Distributia normala a valorilor va avea o abatere standard (Fig.3.3.).

Pentru un x fixat, distributia normala din Fig.3.3. este data de relatia:

 în care y_m aproximeaza cel mai bine valoarea medie adevarata, iar P(y_i) reprezinta probabilitatea cu care se obtine valoarea medie adevarata a lui y_i. Daca pentru fiecare x se masoara un singur y, nu se poate determina valoarea y_m, însa este de dorit ca functia model f(x) sa aproximeze pe y_m. De aceea în (3.39) y_m va fi înlocuit cu f(x) si presupunem pentru simplitate ca toate abaterile standard sunt egale:

s ₁ = s ₂ = ... = s

Vom cauta sa optimizam parametrii functiei f(x) astfel încât aceasta functie sa aproximeze cât mai bine pe y_m în fiecare punct.

Vom calcula probabilitatea ca pentru fiecare masuratoare x, sa obtinem valori în intervalul y_mi+dy. Deoarece masuratorile sunt independente, probabilitatea totala este produsul probabilitatilor individuale:

 sau:

 Pentru ca functia model f(x) sa aproximeze cât mai bine datele experimentale, este necesar ca probabilitatea P sa fie maxima. Din cauza semnului "-" în exponent, vom avea:

 Daca abaterile standard nu sunt egale :

 s _i² fiind ponderea statistica a punctului i.

Aceasta este relatia de baza pentru metoda "celor mai mici patrate", justificata pe baza ipotezei foarte plauzibile a repartitiei normale a erorilor experimentale, adica absenta erorilor sistematice [12].

Sa presupunem ca functia f(x) depinde de parametrii a si b:

f(x) = f(x,a,b)

Din conditia (3.42) obtinem:

 Cei doi parametri a si b pot fi determinati din conditiile ca derivatele partiale ale functionalei F în raport cu fiecare parametru în parte sa se anuleze. In cazul general se obtine un sistem cu un numar de ecuatii egal cu numarul parametrilor modelului. In cazul a doi parametri, sistemul normal asociat experimentului modelat este:

 unde reperezinta derivata functiei model dupa parametrul a calculata în punctul experimental i. Sistemul de ecuatii (3.44) are întotdeauna o matrice simetrica.

Cel mai simplu model polinom este functia de tipul:

f(x) = ax + b

iar determinarea parametrilor a si b prin metoda "celor mai mici patrate" se numeste regresie liniara.

 Desfacând parantezele obtinem,

 Deci, pentru rezolvarea sistemului va trebui sa calculam sumele care apar în cele doua ecuatii, apoi sa raportam valorile parametrilor a si b.

Semnificatia coeficientului de corelatie,

 apare evidenta daca ne întoarcem la definitia repartitiei normale bidimensionale si în exponent se fac înlocuirile y=a+bx si , iar patratul din exponent se ia nul pentru a obtine un minim.

Spre deosebire de curba de calibrare care poate fi o curba monotona oarecare, la verificarea calibrarii ne asteptam ca pentru variabila y sa obtinem aceleasi valori ca pentru variabila x, adica dreapta de verificare trebuie sa aiba forma: y = a + bx, cu unde a0 si b1. Pentru aceasta situatie se aplica considerentele de omogenitate din paragraful 3.1.2.

In practica, domeniul de etalonare este foarte frecvent limitat inferior de fond sau de limita de determinare (Fig. 3.8). Limita superioara a domeniului de etalonare este tipic conditionata de abaterile de la liniaritate ale dreptei de etalonare.

Insasi definitia regresiei ne permite sa tratam parametrii a si b ca variabile aleatoare. Numarul gradelor de libertate ale variabilelor aleatoare x si y pentru n perechi de valori (x,y) este n=n-2.

În cazul regresiei liniare, notam [11]:

 Se poate arata ca si pentru variabilele aleatoare a si b, se pot obtine dispersiile [10,11]:

 si respectiv:

 Pentru a demonstra absenta erorilor sistematice în dreapta de etalonare, asupra variabilelor:

 se aplica testul t (Student) pentru un interval de încredere prescris si n-2 grade de libertate.

 Se mai poate arata [10] ca notând cu (x) marimea:

 obtinem:

 In cazul în care dreapta de etalonare este folosita pentru masuratori efective, intervalul de încredere pentru marimea evaluata depinde de parametrii etalonarii:

 Rezulta ca dreapta de regresie este delimitata sub aspectul intervalului de încredere de doua arce de hiperbola cu vârful în . Intervalul de încredere penalizeaza drastic masuratorile prea îndepartate de (Fig.3.9.).

 3.6.2.2. Masuratorile în vecinatatea fondului sau a limitei de determinare

In vecinatatea fondului sau a limitei de determinare, masuratorile bazate pe dreapta de etalonare trebuie delimitate clar de acesta, tinând cont de intervalul de încredere pentru dreapta de etalonare si de dispersia fondului (Fig.3.10.).

În ipoteza unei distributii normale a masuratorilor pentru fond, y₀ si pentru x_i, y_i avem modelul din Fig.3.11.

Presupunând aceeasi abatere standard pentru fond si pentru masuratoarea în vecinatatea acestuia, probabilitatea ca y_i sa fie distinct de y₀ este:

 unde introducând variabila si P(z_k)=1 - erf(z_k) obtinem valoarea minima care poate fi raportata:

 Evident, pentru un numar finit de masuratori,s_y poate fi aproximat folosind distributia c ².

 3.6.3. Regresia neliniara

Orice functie de forma:

y = a*x^b

poate fi adusa la o forma liniara prin logaritmare. Deasemenea, pentru x se pot propune cele mai diverse forme: x = ln z, x = exp(z), schimbarile de variabila efectuate în asemenea situatii neafectând formularile deja enuntate.